martes, 29 de septiembre de 2009

historia de la circunferencia

Historia de el circulo y circunferencia.


Desde la más remota antigüedad, la relación entre
la longitud del contorno de un círculo y su diámetro fue una preocupación de filósofos y matemáticos. Ese
dato, muy importante en todos los cálculos astronómicos, para la construcción de objetos o la delimitación
de parcelas circulares de tierra, era un enigma. Si bien era sabido que la razón entre la circunferencia y el
diámetro de un círculo es una constante para todas las figuras circulares, cada vez que la calculaban
obtenían como resultado un número que no conocían; no era un número entero. El Papiro Egipcio de Rhind,
que data del 1650 a.C., muestra que los egipcios le atribuían a ese número el valor 3,16 y en la Biblia
figura con valor de 3. La aparición de las calculadoras en el siglo XX revolucionó el conocimiento acerca de
ese número. En esta unidad vas a explorar esa relación y su valor enigmático.

Historia de Pi
La constante matemática pi (3.14159...), ese misterioso número que en el colegio se nos aparece hasta en la sopa, describe la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Fue bautizada así por lo griegos ya que pi es la primera letra de la palabra perímetro en griego y con ese nombre ha llegado hasta nosotros (aunque es conocida desde tiempos más remotos). Muy probablemente pi sea el número más famoso y estudiado en la historia de las matemáticas. Un versículo poco conocido de la Biblia dice:
Hizo una fuente de metal fundido que medía 10 codos de diámetro: era completamente redonda, y su altura era de 5 codos y una línea de 30 codos lo rodeaba. (I Reyes 7, 23)
El mismo versículo puede encontrarse en II Crónicas 4, 2. Aquí aparece en una lista de especificaciones para el gran templo de Salomón, construido sobre el 950 a. C. y su interés aquí radica en que da un valor de π = 3. No es un valor muy preciso, desde luego, e incluso no muy preciso para su época, lo egipcios y mesopotámicos habían dado valores de 25 / 8 = 3,125 y de √10 = 3,162 respectivamente en épocas mucho más recientes: aunque en defensa de los artesanos de Salomón debería hacerse notar que el elemento que se describe parece ser una pieza de metal fundida muy grande, donde un alto grado de precisión geométrica no es posible ni necesario. Hay algunas otras interpretaciones que llevan a un valor mucho más correcto. El hecho de que la razón de la circunferencia al diámetro de un círculo es constante ha sido conocido durante tanto tiempo que es casi imposible de rastrear. Los primeros valores para p que incluyen el valor 'bíblico' de 3, fueron casi con certeza encontrados mediante medida. En el Papiro Egipcio de Rhind, que data del 1650 a. C., hay buenas pruebas para tomar 4 (8 / 9)2 = 3,16 como valor para π.
El papiro de Rhind



El primer cálculo teórico parece haber sido llevado a cabo por Arquímedes sabía, cosa que hoy desconoce mucha gente, que π no es igual a 22 / 7, y no hizo ninguna afirmación de haber descubierto el valor exacto. Si tomamos su mejor aproximación como la media de estos dos límites obtenemos 3,1418, un error de aproximadamente 0,0002. Aquí está el argumento de Arquímedes. Considera un círculo de radio 1, en el cual inscribimos un polígono regular de 3 x 2n-1 lados, con un semiperímetro bn, y superponemos un polígono regular de 3 x 2n-1 lados, con un semiperímetro de an. El diagrama para el caso n = 2 está a la derecha.
Diagrama de Arquímedes
El efecto de este procedimiento es definir una secuencia incremental: b1 , b2 , b3 , ... y una secuencia decreciente a1 , a2 , a3 , ... tales que ambas secuencias tienen como límite π. Usando notación trigonométrica, vemos que los dos semiperímetros vienen dados por an = K tan( π / K ), bn = K sin( π / K ), donde K = 3 x 2n-1. Igualmente tenemos que an+1 = 2K tan( π / 2K), bn+1 = 2K sin( π / 2K), y no es un complejo ejercicio de trigonometría demostrar que:
(1 / an + 1 / bn ) = 2 / an+1 . . . (1)
an+1 bn = (bn+1 )2 . . . (2).

0 comentarios:

Publicar un comentario en la entrada